Scoruri derivate

Conspect al capitolului 8, ”Derived scores”, din ”Statistical reasoning in psychology and education”, de Minium, King și Bear

Necesitatea scorurilor derivate

Pentru a avea o semnificație, pentru a putea fi interpretate, scorurile brute trebuie să fie raportate la un sistem de referință care să indice o performanță ridicată sau scăzută. Lucrurile sunt complicate de faptul că, în măsurarea psihologică, un test reprezintă doar un eșantion de comportamente care pot fi subsumate unui concept, iar acest concept poate fi măsurat prin itemi / comportamente diferite de la un test la altul.

Pentru a rezolva aceste probleme, ne putem folosi de scorurile derivate. Un astfel de scor se referă la poziția unui scor brut fie raportat la alte scoruri din aceeași distribuție, fie raportat la distribuția scorurilor brute obținute de un grup reprezentativ pentru populație. Acest grup reprezentativ se numește grup normativ sau etalon.

Există două tipuri de scoruri derivate: cele care mențin relația proporțională a distanțelor dintre scorurile distribuției (cum sunt scorurile z sau alte transformări liniare) și cele care nu mențin această proporționalitate (cum sunt percentilele).

Scorurile standard

Primul scor standard este scorul z. Acesta exprimă la cât de multe abateri standard sub sau deasupra mediei se află un scor brut. El poate fi obținut prin împărțirea diferenței dintre un scor și medie la abaterea standard a eșantionului.

Media scorurilor z este întotdeauna 0, iar abaterea standard este întotdeauna 1.

Scorurile z au câteva mici inconveniente, cum ar fi faptul că pot fi exprimate atât în valori pozitive, cât și negative, dar și necesitatea utilizării zecimalelor pentru a avea o precizie rezonabilă a raportării.

S-au creat o varietate de scoruri standardizate care să rezolve aceste mici probleme. Toate au în comun faptul că media și abaterea standard sunt reprezentate întotdeauna prin aceeași valoare. În plus, ele păstrează forma distribuției originale a scorurilor brute.

Scorurile standard care au media egală cu 50 și abaterea standard egală cu 10 sunt numite scoruri T.

Transformarea scorurilor brute în scoruri standard

Principiul echivalenței spune că două scoruri sunt echivalente dacă se află la același număr de abateri standard sub sau deasupra mediei în distribuția din care face parte fiecare.

Prin urmare, pentru a putea compara două scoruri brute din distribuții diferite, ele trebuie transformate în scoruri z. De asemenea, pentru a identifica scorul brut dintr-o distribuție care îi corespunde unui anumit scor brut dintr-o altă distribuție, acesta din urmă trebuie transformat în scor z. Apoi se identifică scorul brut din cealaltă distribuție prin adăugarea sau scăderea din medie a proporției din scorul z obținut anterior. Spre exemplu, dacă scorul z obținut este 0,93, acest scor se înmulțește cu abaterea standard a celeilalte distribuții și se adună cu media pentru a obține scorul corespondent (dacă era cu minus scorul z, se scădea din valoarea mediei).

 Pentru a transforma scorurile brute dintr-o distribuție în scoruri brute echivalente într-o altă distribuție, se poate folosi următoarea formulă: X_n = (S_n/S_o)X_o + M_n – (Sn/So)M_o. În materialul original, media este reprezentată ca X cu o bară orizontală deasupra (ca modul de X). Însă datorită limitărilor tehnice, am reprezentat mediile cu M. n și o reprezintă cele două distribuții cu care lucrăm.

Dacă avem deja cota z și vrem să aflăm scorul echivalent, înmulțim cota z cu abaterea standard din noua distribuție și adunăm rezultatul la medie (X_n = M_n + zS_n).

Scorurile standard ca transformări liniare ale scorurilor brute

Orice transformare a scorurilor brute prin adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea cu o constantă se numește transformare liniară. Se numește așa pentru că ecuația care descrie transformarea este ecuația unei linii drepte.

Pentru a obține scorul z, ce facem este să scădem din fiecare scor o constantă (media) și apoi să împărțim rezultatul cu o altă constantă (abaterea standard).

Principala proprietate a transformării liniare a scorurilor este că menține proporționalitatea distanțelor dintre scoruri și, prin urmare, menține forma distribuției.

Rangurile percentile

Rangurile percentile sunt și scoruri derivate. Și ele descriu locația scorului brut raportat la celelalte scoruri ale distribuției.

Avantajul rangurilor percentile este că au o semnificație directă, intrinsecă. Spre exemplu, o persoană cu rang percentil 90 are scoruri superioare față de 90% dintre ceilalți participanții din acel eșantion.

Există însă și dezavantaje. Principalul dezavantaj este că această transformare nu păstrează proporționalitatea distanței dintre scoruri. Dacă o percentilă este mai mare decât alta cu 5 unități știm că și scorul brut care îi corespunde este mai mare decât celălalt, dar nu știm cu cât este mai mare.

Diferența dintre scorurile brute aflate în proximitatea mediei este reflectată de o diferență mult mai mare în percentile, comparativ cu diferențele dintre periferia distribuției, care sunt reflectate în diferențe percentile tot mai mici.

Comparabilitatea scorurilor

Pentru a putea compara două scoruri brute în baza cotelor z ce le corespund, este necesar ca grupurile de referință folosite pentru a genera cote standard să aibă abateri standard similare, iar formele celor două distribuții să fie similare.

În cazul distribuțiilor cu forme diferite se pot folosi rangurile percentile. Acestea nu depind de forma distribuției.

Scoruri standard normalizate

Aceste scoruri sunt similare celorlalte scoruri standard în sensul că media și abaterea standard au valori constante, indiferent de scala de măsură și distribuția scorurilor brute. Ce au specific este că transformarea scorurilor brute în scoruri standard normalizate transformă distribuția originală într-una normală.

Un astfel de scor este stanina. Staninele sunt numere întregi cu valoarea între 1 și 9. Media este 5, iar abaterea standard este 1,96. Diferența dintre o stanină și următoarea din șir este egală cu jumătate de abatere standard.

Diferențierea performanței la extreme este foarte slabă. Staninele 1 și 9 reprezintă o gamă largă de scoruri brute.

Normalizarea este uneori necesară pentru a putea folosi anumite analize statistice inferențiale. Însă dacă nu există un motiv foarte bun pentru a forța datele brute într-o distribuție de formă diferită față de cea obținută inițial, este preferabil să folosim alte metode de standardizare care nu implică și normalizarea datelor.

Combinarea măsurătorilor din distribuții diferite

Cea mai mare problemă în combinarea scorurilor din distribuții diferite este că fiecare dintre scoruri nu este în mod necesar egal cu celelalte în ce privește totalul rezultat. Dacă mai mute scoruri sunt independente între ele (adică nici unul nu este influențat în vreun fel de celelalte), atunci contribuția fiecărui scor la total este proporțională cu abaterea standard a distribuției din care a fost extras.

O soluție este transformarea scorurilor inițiale în scoruri standard. Acestea pot fi ulterior adunate sau ponderate, astfel încât să se obțină combinația dorită. Această soluție este suficientă și folositoare doar în condițiile în care cele două distribuții sunt independente una de cealaltă.